３連敗以上しない確率

　2022-12-25 藤井竜王359局300勝59敗

収録済みで未放送のテレビ棋戦があるようでタイミングを逸してしまったのですが、
現在 407局339勝68敗 の由。

ときどき未だ３連敗以上の連敗がないというのが話題になるので更新がわりに計算↓。

「ｎ局消化して３連敗以上がない」というパターンは、互いに排他的な、

・「ｎ－１局消化して３連敗以上がない」というパターン後最後に１局勝ち
・「ｎ－２局消化して３連敗以上がない」というパターン後１局勝ち最後に１局負け
・「ｎ－３局消化して３連敗以上がない」というパターン後１局勝ち最後に２連敗

という３つのパターンをあわせたものと分析できます。つまり…

勝率を p、敗率を q (=1-p)、ｎ局消化して３連敗以上がない確率を P(n) とすると、

　P(n) = P(n-1) * p + P(n-2) * p * q + P(n-3) * p * q²

n < 3 の場合は P(n) = 1 なので Microsoft Excel でも下記↓のように計算できます。



そして一般項は上記↑の行列計算をすれば求められる。
ここで、上記の式にある３×３の行列を Ａ とすると、

　Ａ＝Ｕ^-1 Λ Ｕ¹

のように対角化ができ、Ｕ¹ Ｕ^-1 は単位行列なので、

　Ａⁿ＝(Ｕ^-1 Λ Ｕ¹)ⁿ = Ｕ^-1 Λ (Ｕ¹ Ｕ^-1) Λ (Ｕ¹ … Ｕ^-1) Λ Ｕ¹ = Ｕ^-1 Λⁿ Ｕ¹

になる。対角行列 Λ の冪乗は対角要素である固有値の冪乗を対角要素とする
行列です(ただしＡは実対称行列ではないので固有値は虚部がある複素数)。

[参考情報]
　Wolfram Alpha による一般項の計算
　連立漸化式の3通りの解き方 高校数学の美しい物語
　3-1型の漸化式(隣接3項間漸化式の基本) おいしい数学